Regularization

Regularization 是一種抑制模型過度擬合（overfitting）的技術，透過在損失函數中加入懲罰項（penalty term），限制模型參數的大小，使模型更加泛化。

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1. 線性模型中的正則化

假設原始的損失函數為均方誤差（MSE）：

$$\mathcal{L}(\mathbf{w}) = \sum_{i=1}^{n} (y_i - \mathbf{w}^T x_i)^2$$

加入正則化後的形式：

$$\mathcal{L}_{\text{reg}}(\mathbf{w}) = \sum_{i=1}^{n} (y_i - \mathbf{w}^T x_i)^2 + \lambda R(\mathbf{w})$$

其中 $R(\mathbf{w})$ 為正則化項，$\lambda$ 為控制正則化強度的超參數。

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2. 常見正則化方式

L1 正則化（Lasso Regression）

懲罰項為權重的絕對值總和：

$$R(\mathbf{w}) = \sum_{j=1}^{p} |w_j|$$

• 具有特徵選擇能力（可將部分係數壓為零）

• 適合特徵數多且稀疏的情境

L2 正則化（Ridge Regression）

懲罰項為權重的平方和：

$$R(\mathbf{w}) = \sum_{j=1}^{p} w_j^2$$

• 不會產生稀疏解，但能穩定權重

• 適用於多重共線性問題

Elastic Net（彈性網）

結合 L1 與 L2：

$$R(\mathbf{w}) = \alpha \sum |w_j| + (1 - \alpha) \sum w_j^2$$

• 同時具有特徵選擇與穩定化特性

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3. Python 實作範例

from sklearn.linear_model import Ridge, Lasso, ElasticNet
from sklearn.datasets import make_regression

# 模擬資料
X, y = make_regression(n_samples=100, n_features=10, noise=10)

# Ridge
ridge = Ridge(alpha=1.0)
ridge.fit(X, y)

# Lasso
lasso = Lasso(alpha=0.1)
lasso.fit(X, y)

# ElasticNet
enet = ElasticNet(alpha=0.1, l1_ratio=0.5)
enet.fit(X, y)

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4. 選擇與比較

方法	懲罰形式	優點	缺點
L1 (Lasso)	$	w	$	稀疏性強，特徵選擇	在共線性下不穩定
L2 (Ridge)	$w^2$	穩定解	無法刪除冗餘特徵
Elastic Net	$	w	+ w^2$	綜合兩者優點	多一個超參數需調整

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正則化是現代機器學習不可或缺的技術之一，適當地使用能有效提升模型的穩健性與預測效能。